Compétences travaillées

Domaines du socle

Chercher

·       Extraire d'un document les informations utiles, les reformuler, les organiser, les confronter à ses connaissances.

·       S’engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter (sur une feuille de papier, avec des objets, à l’aide de logiciels), émettre des hypothèses, chercher des exemples ou des contre-exemples, simplifier ou particulariser une situation, émettre une conjecture.

·       Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

·       Décomposer un problème en sous-problèmes.

2, 4

Modéliser

·       Reconnaître des situations de proportionnalité et résoudre les problèmes correspondants.

·       Traduire en langage mathématique une situation réelle (par exemple à l'aide d'équations, de fonctions, de configurations géométriques, d'outils statistiques).

·       Comprendre et utiliser une simulation numérique ou géométrique.

·       Valider ou invalider un modèle, comparer une situation à un modèle connu (par exemple un modèle aléatoire).

1, 2, 4

Représenter

·       Choisir et mettre en relation des cadres (numérique, algébrique, géométrique) adaptés pour traiter un problème ou pour étudier un objet mathématique.

·       Produire et utiliser plusieurs représentations des nombres.

·       Représenter des données sous forme d’une série statistique.

·       Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides (par exemple perspective ou vue de dessus/de dessous) et de situations spatiales (schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques, photographies, plans, cartes, courbes de niveau).

1, 5

Raisonner

·       Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs variées (géométriques, physiques, économiques) : mobiliser les connaissances nécessaires, analyser et exploiter ses erreurs, mettre à l’essai plusieurs solutions.

·       Mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui.

·       Démontrer : utiliser un raisonnement logique et des règles établies (propriétés, théorèmes, formules) pour parvenir à une conclusion.

·       Fonder et défendre ses jugements en s’appuyant sur des résultats établis et sur sa maîtrise de l’argumentation.

2, 3, 4

Calculer

·       Calculer avec des nombres rationnels, de manière exacte ou approchée, en combinant de façon appropriée le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté (calculatrice ou logiciel).

·       Contrôler la vraisemblance de ses résultats, notamment en estimant des ordres de grandeur ou en utilisant des encadrements.

·       Calculer en utilisant le langage algébrique (lettres, symboles, etc.).

4

Communiquer

·       Faire le lien entre le langage naturel et le langage algébrique. Distinguer des spécificités du langage mathématique par rapport à la langue française.

·       Expliquer à l’oral ou à l’écrit (sa démarche, son raisonnement, un calcul, un protocole de construction géométrique, un algorithme), comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

·       Vérifier la validité d’une information et distinguer ce qui est objectif et ce qui est subjectif ; lire, interpréter, commenter, produire des tableaux, des graphiques, des diagrammes.

1, 3

Attendus de fin de cycle

• Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes
• Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers
• Utiliser le calcul littéral

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) ; passer d’une représentation à une autre.

Ø  Nombres décimaux.

Ø  Nombres rationnels (positifs ou négatifs), notion d’opposé.

Ø  Fractions, fractions irréductibles, cas particulier des fractions décimales.

Ø  Définition de la racine carrée ; les carrés parfaits entre 1 et 144.

Ø  Les préfixes de nano à giga.

Rencontrer diverses écritures dans des situations variées (par exemple nombres décimaux dans des situations de vie quotidienne, notation scientifique en physique, nombres relatifs pour mesurer des températures ou des altitudes).

Relier fractions, proportions et pourcentages.

Associer à des objets des ordres de grandeurs (par exemple la taille d’un atome, d’une bactérie, d’une alvéole pulmonaire, la longueur de l’intestin, la capacité de stockage d’un disque dur, la vitesse du son et de la lumière, la population française et mondiale, la distance de la Terre à la Lune et au Soleil, la distance du Soleil à l’étoile la plus proche).

Prendre conscience que certains nombres ne sont pas rationnels.

Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels.

Repérer et placer un nombre rationnel sur une droite graduée.

Ø  Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire.

Ø  Égalité de fractions.

Montrer qu’il est toujours possible d’intercaler des rationnels entre deux rationnels donnés, contrairement au cas des entiers.

Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté.

Calculer avec des nombres relatifs, des fractions ou des nombres décimaux (somme, différence, produit, quotient).

Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.

Effectuer des calculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique.

Ø  Définition des puissances d’un nombre (exposants entiers, positifs ou négatifs).

Pratiquer régulièrement le calcul mental ou à la main, et utiliser à bon escient la calculatrice ou un logiciel.

Effectuer des calculs et des comparaisons pour traiter des problèmes (par exemple comparer des consommations d’eau ou d’électricité, calculer un indice de masse corporelle pour évaluer un risque éventuel sur la santé, déterminer le nombre d’images pouvant être stockées sur une clé USB, calculer et comparer des taux de croissance démographique).

Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier.

Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

Ø  Division euclidienne (quotient, reste).

Ø  Multiples et diviseurs.

Ø  Notion de nombres premiers.

Recourir à une décomposition en facteurs premiers dans des cas simples.

Exploiter tableurs, calculatrices et logiciels, par exemple pour chercher les diviseurs d’un nombre ou déterminer si un nombre est premier.

Démontrer des critères de divisibilité (par exemple par 2, 3, 5 ou 10) ou la preuve par 9.

Etudier des problèmes d’engrenages (par exemple braquets d’un vélo, rapports de transmission d’une boîte de vitesses, horloge), de conjonction de phénomènes périodiques (par exemple éclipses ou alignements de planètes).

Utiliser le calcul littéral

Mettre un problème en équation en vue de sa résolution.

Développer et factoriser des expressions algébriques dans des cas très simples.

Résoudre des équations ou des inéquations du premier degré.

Ø  Notions de variable, d’inconnue.

Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou réfuter une conjecture.

Comprendre l’intérêt d’une écriture littérale en produisant et employant des formules liées aux grandeurs mesurables (en mathématiques ou dans d’autres disciplines).

Tester sur des valeurs numériques une égalité littérale pour appréhender la notion d’équation.

Etudier des problèmes qui se ramènent au premier degré (par exemple, en factorisant des équations produits simples à l’aide d’identités remarquables).

Montrer des résultats généraux, par exemple que la somme de trois nombres consécutifs est divisible par 3.

Repères de progressivité :

La maitrise des techniques opératoires et l’acquisition du sens des nombres et des opérations appréhendés au cycle 3 sont consolidées tout au long du cycle 4.

Les élèves rencontrent dès le début du cycle 4 le nombre relatif qui rend possible toutes les soustractions. Ils généralisent l'addition et la soustraction dans ce nouveau cadre et rencontrent la notion d'opposé. Puis ils passent au produit et au quotient, et, quand ces notions ont été bien installées, ils font le lien avec le calcul littéral.

Au cycle 3, les élèves ont rencontré des fractions simples sans leur donner le statut de nombre. Dès le début du cycle 4, les élèves construisent et mobilisent la fraction comme nombre qui rend toutes les divisions possibles. En 5^ème, les élèves calculent et comparent proportions et fréquences, justifient par un raisonnement l'égalité de deux quotients, reconnaissent un nombre rationnel. À partir de la 4^ème, ils sont conduits à additionner, soustraire, multiplier et diviser des quotients, à passer d'une représentation à une autre d'un nombre, à justifier qu'un nombre est ou non l'inverse d'un autre. Ils n’abordent la notion de fraction irréductible qu’en 3^ème.

La notion de racine carrée est introduite en lien avec le théorème de Pythagore ou l’agrandissement des surfaces. Les élèves connaissent quelques carrés parfaits, les utilisent pour encadrer des racines par des entiers et utilisent la calculatrice pour donner une valeur exacte ou approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

Les puissances de 10 d'exposant entier positif sont manipulées dès la 4^ème, en lien avec les problèmes scientifiques ou technologiques. Les exposants négatifs sont introduits progressivement. Les puissances positives de base quelconque sont envisagées comme raccourci d'un produit.

Dès le début du cycle 4, les élèves comprennent l'intérêt d’utiliser une écriture littérale. Ils apprennent à tester une égalité en attribuant des valeurs numériques au nombre désigné par une lettre qui y figure. A partir de la 4^ème, ils rencontrent les notions de variables et d’inconnues, la factorisation, le développement et la réduction d’expressions algébriques. Ils commencent à résoudre, de façon exacte ou approchée, des problèmes du 1^er degré à une inconnue et apprennent à modéliser une situation à l'aide d'une formule, d'une équation ou d'une inéquation. En 3^ème, ils résolvent algébriquement équations et inéquations du 1^er degré et mobilisent le calcul littéral pour démontrer. Ils font le lien entre forme algébrique et représentation graphique.

Attendus de fin de cycle

·       Interpréter, représenter et traiter des données

·       Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

·       Résoudre des problèmes de proportionnalité

·       Comprendre et utiliser la notion de fonction

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Interpréter, représenter et traiter des données

Recueillir des données, les organiser.

Lire des données sous forme de données brutes, de tableau, de graphique.

Calculer des effectifs, des fréquences.

Ø  Tableaux, représentations graphiques (diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires, histogrammes).

Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d'une série statistique.

Ø  Indicateurs : moyenne, médiane, étendue.

Utiliser un tableur, un grapheur pour calculer des indicateurs et représenter graphiquement les données.

Porter un regard critique sur des informations chiffrées, recueillies, par exemple, dans des articles de journaux ou sur des sites web.

Organiser et traiter des résultats issus de mesures ou de calculs (par exemple des données mises sur l’environnement numérique de travail par les élèves dans d’autres disciplines) ; questionner la pertinence de la façon dont les données sont collectées.

Lire, interpréter ou construire un diagramme dans un contexte économique, social ou politique : résultats d’élections, données de veille sanitaire (par exemple consultations, hospitalisations, mortalité pour la grippe), données financières relatives aux ménages (par exemple impôts, salaires et revenus), données issues de l’étude d’un jeu, d’une œuvre d’art…

Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités

Aborder les questions relatives au hasard à partir de problèmes simples.

Calculer des probabilités dans des cas simples.

Ø  Notion de probabilité.

Ø  Quelques propriétés : la probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1 ; probabilité d’évènements certains, impossibles, incompatibles, contraires.

Faire le lien entre fréquence et probabilité, en constatant matériellement le phénomène de stabilisation des fréquences ou en utilisant un tableur pour simuler une expérience aléatoire (à une ou à deux épreuves).

Exprimer des probabilités sous diverses formes (décimale, fractionnaire, pourcentage).

Calculer des probabilités dans un contexte simple (par exemple, évaluation des chances de gain dans un jeu et choix d’une stratégie).

Résoudre des problèmes de proportionnalité

Reconnaitre une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité.

Etudier des relations entre deux grandeurs mesurables pour identifier si elles sont proportionnelles ou non ; ces relations peuvent être exprimées par :

- des formules (par exemple la longueur d’un cercle ou l’aire d’un disque comme fonction du rayon, la loi d’Ohm exprimant la tension comme fonction de l’intensité) ;

- des représentations graphiques (par exemple des nuages de points ou des courbes) ;

- un tableau (dont des lignes ou des colonnes peuvent être proportionnelles ou non).

Résoudre des problèmes de recherche de quatrième proportionnelle.

Résoudre des problèmes de pourcentage.

Ø  Coefficient de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité en utilisant, par exemple, le produit en croix.

Calculer et interpréter des proportions (notamment sous forme de pourcentages) sur des données économiques ou sociales ; appliquer des pourcentages (par exemple taux de croissance, remise, solde, taux d’intérêt) à de telles données.

Etablir le fait que, par exemple, augmenter de 5% c’est multiplier par 1,05 et diminuer de 5% c’est multiplier par 0,95 ; proposer quelques applications (par exemple que l’on n’additionne pas les remises).

Comprendre et utiliser la notion de fonction

Modéliser des phénomènes continus par une fonction.

Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations).

Ø  Dépendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre.

Ø  Notion de variable mathématique.

Ø  Notion de fonction, d'antécédent et d'image.

Ø  Notations f(x) et x  f(x).

Ø  Cas particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

Utiliser différents modes de représentation et passer de l’un à l’autre, par exemple en utilisant un tableur ou un grapheur.

Lire et interpréter graphiquement les coefficients d’une fonction affine représentée par une droite.

Etudier et commenter des exemples (fonction reliant la tension et l’intensité dans un circuit électrique, fonction reliant puissance et énergie, courbes de croissance dans un carnet de santé, tests d’effort, consommation de carburant d’un véhicule en fonction de la vitesse, production de céréales en fonction des surfaces ensemencées, liens entre unités anglo-saxonnes et françaises, impôts et fonctions affines par morceaux…).

Faire le lien entre fonction linéaire et proportionnalité.

Repères de progressivité :

Les caractéristiques de position d'une série statistique sont introduites dès le début du cycle. Les élèves rencontrent des caractéristiques de dispersion à partir de la 4^ème.

Les activités autour de la proportionnalité prolongent celles du cycle 3. Au fur et à mesure de l'avancement du cycle, les élèves diversifient les points de vue en utilisant les représentations graphiques et le calcul littéral. En 3^ème, les élèves sont en mesure de faire le lien entre proportionnalité, fonctions linéaires, théorème de Thalès et homothéties et peuvent choisir le mode de représentation le mieux adapté à la résolution d'un problème.

En 5^ème, la rencontre de relations de dépendance entre grandeurs mesurables, ainsi que leurs représentations graphiques, permet d'introduire la notion de fonction qui est stabilisée en 3^ème, avec le vocabulaire et les notations correspondantes.

Dès le début et tout au long du cycle 4 sont abordées des questions relatives au hasard, afin d'interroger les représentations initiales des élèves, en partant de situations issues de la vie quotidienne (jeux, achats, structures familiales, informations apportées par les médias, etc.), en suscitant des débats. On introduit et consolide ainsi petit à petit le vocabulaire lié aux notions élémentaires de probabilités (expérience aléatoire, issue, probabilité). Les élèves calculent des probabilités en s’appuyant sur des conditions de symétrie ou de régularité qui fondent le modèle équiprobable. Une fois ce vocabulaire consolidé, le lien avec les statistiques est mis en œuvre en simulant une expérience aléatoire, par exemple sur un tableur. A partir de la 4^ème, l’interprétation fréquentiste permet d’approcher une probabilité inconnue et de dépasser ainsi le modèle d’équiprobabilité mis en œuvre en 5^ème.

Attendu de fin de cycle

·       Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

·       Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités.

Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités.

Ø  Notion de grandeur produit et de grandeur quotient.

Ø  Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule.

Identifier des grandeurs composées rencontrées en mathématiques ou dans d’autres disciplines (par exemple aire, volume, vitesse, allure, débit, masse volumique, concentration, quantité d’information, densité de population, rendement d’un terrain).

Commenter des documents authentiques (par exemple factures d’eau ou d’électricité, bilan sanguin).

Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques

Comprendre l’effet d’un déplacement, d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles.

Ø  Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m², m³).

Utiliser un rapport de réduction ou d'agrandissement (architecture, maquettes), l’échelle d’une carte.

Utiliser un système d’information géographique (cadastre, géoportail, etc.) pour déterminer une mesure de longueur ou d’aire ; comparer à une mesure faite directement à l’écran.

Repères de progressivité :

Le travail sur les grandeurs mesurables et les unités de mesure, déjà entamé au cycle 3, est poursuivi tout au long du cycle 4, en prenant appui sur des contextes issus d’autres disciplines ou de la vie quotidienne. Les grandeurs produits et les grandeurs quotients sont introduites dès la 4^ème. L'effet d'un déplacement, d’un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriques est travaillé en 3^ème, en lien avec la proportionnalité, les fonctions linéaires et le théorème de Thalès.

Attendus de fin de cycle

·       Représenter l’espace

·       Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

 Représenter l’espace

(Se) repérer sur une droite graduée, dans le plan muni d'un repère orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère.

Ø  Abscisse, ordonnée, altitude.

Ø  Latitude, longitude.

Utiliser, produire et mettre en relation des représentations de solides et de situations spatiales.

Développer sa vision de l’espace.

Repérer une position sur carte à partir de ses coordonnées géographiques.

Mettre en relation diverses représentations de solides (par exemple, vue en perspective, vue de face, vue de dessus, vue en coupe) ou de situations spatiales (par exemple schémas, croquis, maquettes, patrons, figures géométriques).

Utiliser des solides concrets (en carton par exemple) pour illustrer certaines propriétés.

Utiliser un logiciel de géométrie pour visualiser des solides et leurs sections planes afin de développer la vision dans l’espace. Faire le lien avec les courbes de niveau sur une carte.

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer

Mettre en œuvre ou écrire un protocole de construction d’une figure géométrique.

Coder une figure.

Comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure.

Construire des frises, des pavages, des rosaces.

Utiliser un logiciel de géométrie dynamique, notamment pour transformer une figure par translation, symétrie, rotation, homothétie.

Faire le lien entre parallélisme et translation, cercle et rotation.

Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture.

Ø  Position relative de deux droites dans le plan.

Ø  Caractérisation angulaire du parallélisme, angles alternes / internes.

Ø  Médiatrice d'un segment.

Ø  Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente).

Ø  Parallélogramme : propriétés relatives aux côtés et aux diagonales.

Ø  Théorème de Thalès et réciproque.

Ø  Théorème de Pythagore et réciproque.

Distinguer un résultat de portée générale d’un cas particulier observé sur une figure.

Faire le lien entre théorème de Thalès, homothétie et proportionnalité.

Utiliser la trigonométrie du triangle rectangle pour calculer des longueurs ou des angles.

Démontrer, par exemple, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, qu’un point est le milieu d’un segment, qu’une droite est la médiatrice d’un segment, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange ou un carré.

Etudier comment les notions de la géométrie plane ont permis de déterminer des distances astronomiques (estimation du rayon de la Terre par Eratosthène, distance de la Terre à la Lune par Lalande et La Caille, etc.).

Repères de progressivité :

Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l'activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu'ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d'un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures.

La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s'entraîner au raisonnement et de s'initier petit à petit à la démonstration.

Le théorème de Pythagore est introduit dès la 4^ème, et est réinvesti tout au long du cycle dans des situations variées du plan et de l'espace. Le théorème de Thalès est introduit en 3^ème, en liaison étroite avec la proportionnalité et l’homothétie, mais aussi les agrandissements et réductions.

La symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l’analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans définition formalisée en tant qu’applications ponctuelles. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont amenées en 3^ème, en lien avec les configurations de Thalès, la proportionnalité, les fonctions linéaires, les rapports d’agrandissement ou de réduction des grandeurs géométriques.

Attendus de fin de cycle

·       Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple

Connaissances et compétences associées

Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève

Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaître des schémas.

Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné.

Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des évènements extérieurs.

Programmer des scripts se déroulant en parallèle.

Ø  Notions d’algorithme et de programme.

Ø  Notion de variable informatique.

Ø  Déclenchement d'une action par un événement, séquences d'instructions, boucles, instructions conditionnelles.

Jeux dans un labyrinthe, jeu de Pong, bataille navale, jeu de nim, tic tac toe.

Réalisation de figure à l'aide d'un logiciel de programmation pour consolider les notions de longueur et d'angle.

Initiation au chiffrement (Morse, chiffre de César, code ASCII…).

Construction de tables de conjugaison, de pluriels, jeu du cadavre exquis…

Calculs simples de calendrier.

Calculs de répertoire (recherche, recherche inversée...).

Calculs de fréquences d’apparition de chaque lettre dans un texte pour distinguer sa langue d’origine : français, anglais, italien, etc.

Repères de progressivité :

En 5^ème, les élèves s'initient à la programmation événementielle. Progressivement, ils développent de nouvelles compétences, en programmant des actions en parallèle, en utilisant la notion de variable informatique, en découvrant les boucles et les instructions conditionnelles qui complètent les structures de contrôle liées aux évènements.